Теория информации минимум энтропии шеннона. Энтропия как мера информации

Понятие Энтропи́и впервые введено в 1865 Р. Клаузиусом в термодинамике для определения меры необратимого рассеяния энергии. Энтропия применяется в разных отраслях науки, в том числе и в теории информации как мера неопределенности какого-либо опыта, испытания, который может иметь разные исходы. Эти определения энтропии имеют глубокую внутреннюю связь. Так на основе представлений об информации можно вывести все важнейшие положения статистической физики. [БЭС. Физика. М: Большая российская энциклопедия, 1998].

Информационная двоичная энтропия для независимых (неравновероятных) случайных событий x с n возможными состояниями (от 1 до n , p - функция вероятности) рассчитывается по формуле Шеннона :

Эта величина также называется средней энтропией сообщения. Энтропия в формуле Шеннона является средней характеристикой – математическим ожиданием распределения случайной величины .
Например, в последовательности букв, составляющих какое-либо предложение на русском языке, разные буквы появляются с разной частотой, поэтому неопределённость появления для некоторых букв меньше, чем для других.
В 1948 году, исследуя проблему рациональной передачи информации через зашумлённый коммуникационный канал, Клод Шеннон предложил революционный вероятностный подход к пониманию коммуникаций и создал первую, истинно математическую, теорию энтропии. Его сенсационные идеи быстро послужили основой разработки теории информации, которая использует понятие вероятности. Понятие энтропии, как меры случайности, введено Шенноном в его статье «A Mathematical Theory of Communication», опубликованной в двух частях в Bell System Technical Journal в 1948 году.

В случае равновероятных событий (частный случай), когда все варианты равновероятны, остается зависимость только от количества рассматриваемых вариантов и формула Шеннона значительно упрощается и совпадает с формулой Хартли, которая впервые была предложена американским инженером Ральфом Хартли в 1928 году, как один из научных подходов к оценке сообщений:

, где I – количество передаваемой информации, p – вероятность события, N – возможное количество различных (равновероятных) сообщений.

Задание 1. На равновероятные события.
В колоде 36 карт. Какое количество информации содержится в сообщении, что из колоды взята карта с портретом “туз”; “туз пик”?

Вероятность p1 = 4/36 = 1/9, а p2 = 1/36. Используя формулу Хартли имеем:

Ответ: 3.17; 5.17 бит
Заметим (из второго результата), что для кодирования всех карт, необходимо 6 бит.
Из результатов также ясно, что чем меньше вероятность события, тем больше информации оно содержит. (Данное свойство называется монотонностью )

Задание 2. На неравновероятные события
В колоде 36 карт. Из них 12 карт с “портретами”. Поочередно из колоды достается и показывается одна из карт для определения изображен ли на ней портрет. Карта возвращается в колоду. Определить количество информации, передаваемой каждый раз, при показе одной карты.

1. Введение.

2. Что измерил Клод Шеннон?

3. Пределы эволюционной изменчивости информационных систем.

4. Ограниченность адаптации биологических видов.

5. Этапы развития теории энтропии.

6. Методы исчисления количества структурной информации и информационной энтропии текстов.

7. Информационно-энтропийные соотношения процессов адаптации и развития.

8. Информация и энергия.

9. Заключение.

10. Список литературы.

ВВЕДЕНИЕ

Во второй половине XX века произошли два события, которые, на наш взгляд, в значительной мере определяют дальнейшие пути научного постижения мира. Речь идет о создании теории ин­формации и о начале исследований механизмов антиэнтропийных процессов, для изучения которых синергетика привлекает все новейшие достижения неравновесной термодинамики, теории ин­формации и общей теории систем.

Принципиальное отличие данного этапа развития науки от предшествующих этапов заключается в том, что до создания перечисленных направлений исследований наука способна была объяснить лишь механизмы процессов, приводящих к увеличению хаоса и возрастанию энтропии. Что касается разрабатываемых со времен Ламарка и Дарвина биологических и эволюционных концепций, то они и по сей день не имеют строгих научных обоснований и противоречат Второму началу термодинамики, согласно которому сопровождающее все протекающие в мире процессы возрас­тание энтропии есть непременный физический закон.

Заслуга неравновесной термодинамики заключается в том, что она сумела выявить механизмы антиэнтропийных процессов, не противоречащих Второму началу термодинамики, поскольку локаль­ное уменьшение энтропии внутри самоорганизующейся системы всегда оплачивается большим по абсолютной величине возрас­танием энтропии внешней среды.

Важнейшим шагом на пути постижения природы и механизмов антиэнтропийных процессов следует введение количественной меры информации. Первоначально эта мера предназначалась лишь для решения сугубо прикладных задач техники связи. Однако последующие исследования в области физики и биологии позво­лили выявить универсальные меры, предложенные К.Шен­ноном, позволяющие установить взаимосвязь между количеством информации и физической энтропией и в конечном счете определить сущность новой научной интерпретации понятия «ин­формация» как меры структурной упорядоченности самых разнообразных по своей природе систем.

Используя метафору, можно сказать, что до введения в науку единой информационной количественной меры представленный в естественно-научных понятиях мир как бы «опирался на двух китов»: энергию и вещество. «Третьим китом» оказалась теперь информация, участвующая во всех протекающих в мире процессах, начиная от микрочастиц, атомов и молекул и кончая функциониро­ванием сложнейших биологических и социальных систем.

Естественно, возникает вопрос: подтверждают или опровергают эволюционную парадигму происхождения жизни и биологических видов новейшие данные современной науки?

Для ответа на этот вопрос необходимо прежде всего уяснить, какие именно свойства и стороны многогранного понятия «ин­формация» отражает та количественная мера, которую ввел в науку К.Шеннон.

Использование меры количества информации позволяет анализировать общие механизмы информационно-энтропийных взаимодействий, лежащих в основе всех самопроизвольно протекающих в окружающем мире процессов накопления информации, которые приводят к самоорганизации структуры систем.

Вместе с тем информационно-энтропийный анализ позволяет выявить и пробелы эволюционных концепций, представляющих собой не более чем несостоятельные попытки сведения к простым механизмам самоорганизации проблему происхождения жизни и биологических видов без учета того обстоятельства, что системы такого уровня сложности могут быть созданы лишь на основе той информации, которая изначально заложена в предшествующий их сотворению план.

Проводимые современной наукой ис­следования свойств информационных систем дают все основания утверждать, что все системы могут формироваться только сог­ласно спускаемым с верхних иерархических уровней правилами, причем сами эти правила существовали раньше самих систем в форме изначального плана (идеи творения).

ЧТО ИЗМЕРИЛ КЛОД ШЕННОН?

В основу теории информации положен предложенный К.Шенноном метод исчислений количества новой (непредска­зуемой) и избыточной (предсказуемой) информации, содержащейся в сообщениях, передаваемых по каналам техничес­кой связи.

Предложенный Шенноном метод измерения количества ин­формации оказался настолько универсальным, что его применение не ограничивается теперь узкими рамками чисто технических приложений.

Вопреки мнению самого К.Шеннона, предостерегавшего ученых против поспешного распространения предложенного им метода за пределы прикладных задач техники связи, этот метод стал находить все более широкое примение в исследованиях и фи­зических, и биологических, и социальных систем.

Ключом к новому пониманию сущности феномена информации и механизма информационных процессов послужила установленная Л.Бриллюэном взаимосвязь информации и физической энтропии. Эта взаимосвязь была первоначально заложена в самый фунда­мент теории информации, поскольку для исчисления количества информации Шеннон предложил использовать заимствованную из статистической термодинамики вероятную функцию энтропии.

Многие ученые (начиная с самого К.Шеннона) склонны были рассматривать такое заимствование как чисто формальный прием. Л.Бриллюэн показал, что между вычисленным согласно Шеннону количеством информации и физической энтропии существует не формальная, а содержательная связь.

В статистической физике с помощью вероятностной функции энтропии исследуются процессы, приводящие к термодинамическому равновесию, при котором все состояния молекул (их энергии, скорости) приближаются к равновероятным, а энтропия при этом стремится к макси­мальной величине.

Благодаря теории информации стало очевидно, что с помощью той же самой функции можно исследовать и такие далекие от сос­тояния максимальной энтропии системы, как, например, пись­менный текст.

Еще один важный вывод заключается в том, что

с помощью вероятностной функции энтропии можно анализировать все стадии перехода системы от состояния полного хаоса, которому соответствуют равные значения вероятностей и максимальное значение энтропии, к состоянию предельной упорядоченности (жесткой детерминации), которому соответствует единственно возможное состояние ее элементов.

Данный вывод оказывается в равной мере справедливым для таких несходных по своей природе систем, как газы, кристаллы, письменные тексты, биологические организмы или сообщества и др.

При этом, если для газа или кристалла при вычислении энтропии сравнивается только микросостояние (т.е. состояние атомов и мо­лекул) и макросостояние этих систем (т.е. газа или кристалла как целого), то для систем иной природы (биологических, интеллекту­альных, социальных) вычисление энтропии может производится на том или ином произвольно выбранном уровне. При этом вычис­ляемое значение энтропии рассматриваемой системы и количество информации, характеризующей степень упорядоченности данной системы и равное разности между максимальным и реальным зна­чением энтропии, будет зависеть от распределения вероятности состояний элементов нижележащего уровня, т.е. тех элементов, ко­торые в своей совокупности образуют эти системы.

Другими словами,

количество сохраняемой в структуре системы ин­формации пропорционально степени отклонения системы от состояния равновесия, обусловленного сохраняемым в структуре системы порядком.

Сам того не подозревая, Шеннон вооружил науку универсальной мерой, пригодной в принципе (при условии выявления значенй всех вероятностей) для оценки степени упорядоченности всех существующих в мире систем.

Опредеделив введенную Шеноном информационную меру как меру упорядоченности движения , можно установить взаимосвязь информации и энергии, считая энергию мерой интенсивности движения . При этом ко­личество сохраняемой в структуре систем информации пропорционально суммарной энергии внутренних связей этих систем.

Одновременно с выявлением общих свойств информации как феномена обнаруживаются и принципиальные различия отно­сящихся к различным уровням сложности информационных систем.

Так, например, все физические объекты, в отличие от биологических, не обладают специальными органами памяти, пере­кодировки поступающих из внешнего мира сигналов, информаци­онными каналами связи. Хранимая в них информация как бы «размазана» по всей их структуре. Вместе с тем, если бы кристаллы не способны были сохранять информацию в определяющих их упо­рядоченность внутренних связях, не было бы возможности создавать искусственную память и предназначенные для обработки информации технические устройства на основе кристаллических структур.

Вместе с тем необходимо учитывать, что создание подобных устройств стало возможным лишь благодаря разуму человека, су­мевшего использовать элементарные информационные свойства кристаллов для построения сложных информационных систем.

Простейшая биологическая система превосходит по своей сложности самую совершенную из созданных человеком ин­формационных систем. Уже на уровне простейших одноклеточных организмов задействован необходимый для их размножения сложнейший информационный генетический механизм. В многокле­точных организмах помимо информационной системы наследствен­ности действуют специализированные органы хранения ин­формации и ее обработки (например, системы, осуществляющие перекодирование поступающих из внешнего мира зрительных и слу­ховых сигналов перед отправкой их в головной мозг, системы обработки этих сигналов в головном мозге). Сложнейшая сеть информационных коммуникаций (нервная система) пронизывает и превращает в целое весь многоклеточный организм.

Клод Элвуд Шеннон (1916-2001) -
американский инженер и математик,
основатель теории информации,
т.е. теории обработки, передачи
и хранения информации

Клод Шеннон первым начал интерпретировать передаваемые сообщения и шумы в каналах связи с точки зрения статистики, рассматривая как конечные, так и непрерывные множества сообщений. Клода Шеннона называют «отцом теории информации» .

Одной из самых известных научных работ Клода Шеннона является его статья «Математическая теория связи» , опубликованная в 1948 году.

В этой работе Шеннон, исследуя проблему рациональной передачи информации через зашумленный коммуникационный канал, предложил вероятностный подход к пониманию коммуникаций, создал первую, истинно математическую, теорию энтропии как меры случайности и ввёл меру дискретного распределения p вероятности на множестве альтернативных состояний передатчика и приёмника сообщений.

Шеннон задал требования к измерению энтропии и вывел формулу, ставшую основой количественной теории информации:

H (p) .

Здесь n - число символов, из которых может быть составлено сообщение (алфавит), H - информационная двоичная энтропия .

На практике значения вероятностей p i в приведённой формуле заменяют их статистическими оценками: p i - относительная частота i -го символа в сообщении, где N - число всех символов в сообщении, N i - абсолютная частота i -го символа в сообщении, т.е. число встречаемости i -го символа в сообщении.

Во введении к своей статье «Математическая теория связи» Шеннон отмечает, что в этой статье он расширяет теорию связи, основные положения которой содержатся в важных работах Найквиста и Хартли .

Гарри Найквист (1889-1976) -
американский инженер шведского
происхождения, один из пионеров
теории информации

Первые результаты Найквиста по определению ширины частотного диапазона, требуемого для передачи информации, заложили основы для последующих успехов Клода Шеннона в разработке теории информации.

В 1928 году Хартли ввёл логарифмическую меру информации H = K · log 2 N , которую часто называют хартлиевским количеством информации.

Хартли принадлежит следующая важная теорема о необходимом количестве информации: если в заданном множестве M , состоящем из N элементов, содержится элемент x , о котором известно только то, что он принадлежит этому множеству M , то, чтобы найти x , необходимо получить об этом множестве количество информации, равное log 2 N бит.

Кстати, отметим, что название БИТ произошло от английской аббревиатуры BIT - BInary digiT . Этот термин впервые был предложен американским математиком Джоном Тьюки в 1946 году. Хартли и Шеннон использовали бит как единицу измерения информации.

Вообще, энтропия Шеннона - это энтропия множества вероятностей p 1 , p 2 ,…, p n .

Ральф Винтон Лайон Хартли (1888-1970)
- американский учёный-электронщик

Строго говоря, если X p 1 , p 2 ,…, p n - вероятности всех её возможных значений, то функция H (X ) задаёт энтропию этой случайной величины, при этом, хотя X и не является аргументом энтропии, можно записывать H (X ).

Аналогично, если Y - конечная дискретная случайная величина, а q 1 , q 2 ,…, q m - вероятности всех её возможных значений, то для этой случайной величины можно записывать H (Y ).

Джон Уайлдер Тьюки (1915-2000) -
американский математик. Тьюки избрал
бит для обозначения одного разряда
в двоичной системе счисления

Шеннон назвал функцию H (X )энтропией по совету Джона фон Неймана .

Нейман убеждал: эту функцию следует назвать энтропией «по двум причинам. В первую очередь, Ваша функция неопределённости была использована в статистической механике под этим именем, так что у неё уже есть имя. На втором месте, и что более важно, никто не знает, что такое энтропия на самом деле, так что в дискуссии Вы всегда будете иметь преимущество» .

Надо полагать, что этот совет Неймана не был простой шуткой. Скорее всего, и Джон фон Нейман и Клод Шеннон знали об информационной интерпретации энтропии Больцмана как о величине, характеризующей неполноту информации о системе.

В определении Шеннона энтропия - это количество информации, приходящейся на одно элементарное сообщение источника, вырабатывающего статистически независимые сообщения .

7. Энтропия Колмогорова

Андрей Николаевич
Колмогоров (1903-1987) -
советский учёный, один из крупнейших
математиков XX века

А.Н. Колмогоровым были получены фундаментальные результаты во многих областях математики, в том числе в теории сложности алгоритмов и теории информации.

В частности, ему принадлежит ключевая роль в превращении теории информации, сформулированной Клодом Шенноном как технической дисциплины, в строгую математическую науку, и в построении теории информации на принципиально иной, отличной от шенноновской, основе.

В своих работах по теории информации и в области теории динамических систем А.Н. Колмогоров обобщил понятие энтропии на эргодические случайные процессы через предельное распределение вероятностей. Чтобы понять смысл этого обобщения, необходимо знать основные определения и понятия теории случайных процессов.

Значение энтропии Колмогорова (еще называемой K-энтропией ) задает оценку скорости потери информации и может интерпретироваться как мера «памяти» системы, или мера скорости «забывания» начальных условий. Её можно также рассматривать как меру хаотичности системы.

8. Энтропия Реньи

Альфред Реньи (1921-1970) -
венгерский математик, создатель
Математического института в Будапеште,
ныне носящего его имя

Ввёл однопараметрический спектр энтропий Реньи.

С одной стороны, энтропия Реньи представляет собой обобщение энтропии Шеннона. А с другой стороны, одновременно с этим она представляет собой обобщение расстояния (расхождения) Кульбака-Лейблера . Отметим также, что именно Реньи принадлежит полное доказательство теоремы Хартли о необходимом количестве информации.

Расстояние Кульбака-Лейблера (информационная дивергенция, относительная энтропия) - это несимметричная мера удалённости друг от друга двух вероятностных распределений .

Обычно одно из сравниваемых распределений является «истинным» распределением, а второе распределение - предполагаемым (проверяемым) распределением, являющимся приближением первого.

Пусть X , Y - это конечные дискретные случайные величины, для которых области возможных значений принадлежат заданному множеству и известны функции вероятности: P (X = a i ) = p i и P (Y = a i ) = q i .

Тогда значение DKL расстояния Кульбака-Лейблера вычисляется по формулам

D KL (X , Y ) =, D KL (Y , X ) = .

В случае абсолютно непрерывных случайных величин X , Y , заданных своими плотностями распределения, в формулах для вычисления значения расстояния Кульбака-Лейблера суммы заменяются соответствующими интегралами.

Расстояние Кульбака-Лейблера всегда является неотрицательным числом, при этом оно равно нулю D KL (X , Y ) = 0 тогда и только тогда, когда для заданных случайных величин почти всюду справедливо равенство X = Y .

В 1960 году Альфред Реньи предлагает своё обобщение энтропии.

Энтропия Реньи представляет собой семейство функционалов для количественного разнообразия случайности системы. Реньи определил свою энтропию как момент порядка α меры ε-разбиения (покрытия).

Пусть α - заданное действительное число, удовлетворяющее требованиям α ≥ 0, α ≠ 1. Тогда энтропия Реньи порядка α определяется формулой H α = H α (X ), где p i = P (X = x i ) - вероятность события, состоящего в том, что дискретная случайная величина X окажется равна своему соответствующему возможному значению, n - общее число различных возможных значений случайной величины X .

Для равномерного распределения, когда p 1 = p 2 =…= p n =1/n , все энтропии Реньи равны H α (X ) = ln n .

В противном случае, значения энтропий Реньи слабо уменьшаются при возрастании значений параметра α. Энтропии Реньи играют важную роль в экологии и статистике как индексы разнообразия.

Энтропия Реньи также важна в квантовой информации, она может быть использована в качестве меры сложности.

Рассмотрим некоторые частные случаи энтропии Реньи для конкретных значений порядка α:

1. Энтропия Хартли : H 0 = H 0 (X ) = ln n , где n - мощность области возможных значений конечной случайной величины X , т.е. количество различных элементов, принадлежащих множеству возможных значений;

2. Информационная энтропия Шеннона : H 1 = H 1 (X ) = H 1 (p ) (определяется как предел при α → 1, который несложно найти, например, с помощью правила Лопиталя);

3. Корреляционная энтропия или столкновение энтропии : H 2 = H 2 (X )= - ln (X = Y );

4. Min-энтропия : H ∞ = H ∞ (X ).

Отметим, что для любого неотрицательного значения порядка (α ≥ 0) всегда выполняются неравенства H ∞ (X ) ≤ H α (X ). Кроме того, H 2 (X ) ≤ H 1 (X ) и H ∞ (X ) ≤ H 2 (X ) ≤ 2·H ∞ (X ).

Альфред Реньи ввёл не только свои абсолютные энтропии (1.15), он определил также спектр мер расхождений, обобщающих расхождения Кульбака-Лейбнера.

Пусть α - заданное действительное число, удовлетворяющее требованиям α > 0, α ≠ 1. Тогда в обозначениях, использованных при определении значения D KL расстояния Кульбака-Лейблера, значение расхождения Реньи порядка α определяется формулами

D α (X , Y ), D α (X , Y ).

Расхождение Реньи также называют alpha -расхождением или α-дивергенцией. Сам Реньи использовал логарифм по основанию 2, но, как всегда, значение основания логарифма абсолютно неважно.

9. Энтропия Тсаллиса

Константино Тсаллис (род. 1943) -
бразильский физик
греческого происхождения

В 1988 году предложил новое обобщение энтропии, являющееся удобным для применения с целью разработки теории нелинейной термодинамики.

Предложенное им обобщение энтропии, возможно, в ближайшем будущем сможет сыграть существенную роль в теоретической физике и астрофизике.

Энтропия Тсаллиса Sq , часто называемая неэкстенсивной (неаддитивной) энтропией, определяется для n микросостояний согласно следующей формуле:

S q = S q (X ) = S q (p ) = K · , .

Здесь K - размерная константа, если размерность играет важную роль для понимания задачи.

Тсаллис и его сторонники предлагают развивать «неэкстенсивную статистическую механику и термодинамику» в качестве обобщения этих классических дисциплин на случай систем с длинной памятью и/или дальнодействующими силами.

От всех других разновидностей энтропии, в т.ч. и от энтропии Реньи, энтропия Тсаллиса отличается тем, что не является аддитивной. Это принципиальное и важное отличие .

Тсаллис и его сторонники считают, что эта особенность даёт возможность построить новую термодинамику и новую статистическую теорию, которые способы просто и корректно описывать системы с длинной памятью и системы, в которых каждый элемент взаимодействует не только с ближайшими соседями, но и со всей системой в целом или её крупными частями.

Примером таких систем, а поэтому и возможным объектом исследований с помощью новой теории, являются космические гравитирующих системы: звёздные скопления, туманности, галактики, скопления галактик и т.п.

Начиная с 1988 года, когда Константино Тсаллис предложил свою энтропию, появилось значительное число приложений термодинамики аномальных систем (с длиной памятью и/или с дальнодействующими силами), в том числе и в области термодинамики гравитирующих систем.

10. Квантовая энтропия фон Неймана

Джон (Янош) фон Нейман (1903-1957) -
американский математик и физик
венгерского происхождения

Энтропия фон Неймана играет важную роль в квантовой физике и в астрофизических исследованиях.

Джон фон Нейман внёс значительный вклад в развитие таких отраслей науки, как квантовая физика, квантовая логика, функциональный анализ, теория множеств, информатика и экономика.

Он являлся участником Манхэттенского проекта по разработке ядерного оружия, одним из создателей математической теории игр и концепции клеточных автоматов, а также основоположником современной архитектуры компьютеров.

Энтропия фон Неймана, как всякая энтропия, связана с информацией: в данном случае - с информацией о квантовой системе. И в этом плане она играет роль фундаментального параметра, количественно характеризующего состояние и направление эволюции квантовой системы.

В настоящее время энтропия фон Неймана широко используется в различных формах (условная энтропия, относительная энтропия и т.д.) в рамках квантовой теории информации.

Различные меры запутанности непосредственно связаны с энтропией фон Неймана. Тем не менее, в последнее время появился ряд работ, посвящённых критике энтропии Шеннона как меры информации и возможной её неадекватности, и, следовательно, неадекватности энтропии фон Неймана как обобщения энтропии Шеннона.

Проведенный обзор (к сожалению, беглый, а порой и недостаточно математически строгий) эволюции научных взглядов на понятие энтропии позволяет дать ответы на важные вопросы, связанные с истинной сущностью энтропии и перспективами применения энтропийного подхода в научных и практических исследованиях. Ограничимся рассмотрением ответов на два таких вопроса.

Первый вопрос : имеют ли между собой многочисленные разновидности энтропии, как рассмотренные, так и не рассмотренные выше, что-нибудь общее кроме одинакового названия?

Этот вопрос возникает естественным образом, если принять во внимание то разнообразие, которое характеризует существующие различные представления об энтропии.

На сегодня научное сообщество не выработало единого, признанного всеми, ответа на этот вопрос: одни учёные отвечают на этот вопрос утвердительно, другие - отрицательно, третьи - относятся к общности энтропий различных видов с заметной долей сомнения...

Клаузиус, по-видимому, был первым учёным, убеждённым в универсальном характере энтропии и полагавшим, что во всех процессах, происходящих во Вселенной, она играет важную роль, в частности, определяя их направление развития во времени.

Кстати, именно Рудольфу Клаузиусу принадлежит одна из формулировок второго начала термодинамики: «Невозможен процесс, единственным результатом которого являлась бы передача тепла от более холодного тела к более горячему» .

Эту формулировку второго начала термодинамики называют постулатом Клаузиуса , а необратимый процесс, о котором идёт речь в этом постулате, - процессом Клаузиуса .

Со времени открытия второго начала термодинамики необратимые процессы играли уникальную роль в физической картине мира. Так, знаменитая статья 1849 года Уильяма Томпсона , в которой приведена одна из первых формулировок второго начала термодинамики, называлась «Об универсальной тенденции в природе к диссипации механической энергии».

Отметим также, что и Клаузиус был вынужден использовать космологический язык: «Энтропия Вселенной стремится к максимуму» .

Илья Романович Пригожин (1917-2003) -
бельгийско-американский физик и
химик российского происхождения,
лауреат Нобелевской премии
по химии 1977 года

К аналогичным выводам пришёл Илья Пригожин . Пригожин полагает, что принцип энтропии ответственен за необратимость времени во Вселенной и, возможно, играет важную роль в понимании смысла времени как физического феномена.

К настоящему времени выполнено множество исследований и обобщений энтропии, в том числе и с точки зрения строгой математической теории. Однако заметная активность математиков в этой области пока не востребована в приложениях, за исключением, пожалуй, работ Колмогорова , Реньи и Тсаллиса .

Несомненно, энтропия - это всегда мера (степень) хаоса, беспорядка. Именно разнообразие проявления феномена хаотичности и беспорядка обусловливает неизбежность разнообразия модификаций энтропии.

Второй вопрос : можно ли признать сферу применения энтропийного подхода обширной или все приложения энтропии и второго начала термодинамики ограничиваются самой термодинамикой и смежными направлениями физической науки?

История научного изучения энтропии свидетельствует, что энтропия - это научное явление, открытое в термодинамике, а затем успешно перекочевавшее в другие науки и, прежде всего, в теорию информации.

Несомненно, энтропия играет важную роль практически во всех областях современного естествознания: в теплофизике, в статистической физике, в физической и химической кинетике, в биофизике, астрофизике, космологии и теории информации.

Говоря о прикладной математике, нельзя не упомянуть приложения принципа максимума энтропии.

Как уже отмечалось, важными областями применения энтропии являются квантово-механические и релятивистские объекты. В квантовой физике и астрофизике такие применения энтропии представляют собой большой интерес.

Упомянем лишь один оригинальный результат термодинамики чёрных дыр: энтропия чёрной дыры равна четверти площади её поверхности (площади горизонта событий) .

В космологии считается, что энтропия Вселенной равна числу квантов реликтового излучения, приходящихся на один нуклон.

Таким образом, сфера применения энтропийного подхода весьма обширна и включает в себя самые разнообразные отрасли знания, начиная с термодинамики, других направлений физической науки, информатики и заканчивая, например, историей и экономикой.

А.В. Сигал , доктор экономических наук, Крымский университет имени В.И. Вернадского

что означает термин "энтропия" с точки зрения теории информации? и получил лучший ответ

Ответ от MarZ[гуру]
Информационная энтропия, как определено Шенноном и добавлено другими физиками близко, соотносится с понятием термодинамической энтропии. Это величина, обозначающая несокращаемое (несжимаемое) количество информации, содержимое в данной системе (обычно, - в принимаемом сигнале).
В теории информации
Энтропия в статистической механике имеет тесную связь с информационной энтропией - мерой неопределённости сообщений, которые описываются множеством символов x_1,ldots,x_n и вероятностей p_1,ldots,p_n появления этих символов в сообщении. В теории информации энтропией сообщения с дискретным распределением вероятностей называют величину
Sn = − ∑PkInPk,
k
где
∑Pk = 1.
k
Информационная энтропия равна нулю, когда какая-либо вероятность равна единице (а остальные - нулю), т. е. когда информация полностью предсказуема и не несёт ничего нового для приёмника. Энтропия принимает наибольшее значение для равновероятного распределения, когда все вероятности pk одинаковы; т. е. когда неопределённость, разрешаемая сообщением максимальна. Информационная энтропия также обладает всеми теми математическими свойствами, которыми обладает термодинамическая энтропия. Например, она аддитивна: энтропия нескольких сообщений равна сумме энтропий отдельных сообщений.
Источник: http://www.wikiznanie.ru/ru-wz/index.php/Энтропия

Ответ от Александр Зонов [гуру]
Так же, как и в термодинамике энтропия - мера беспорядочности системы.

Ответ от . [активный]
Энтропи́я (информационная) - мера хаотичности информации, неопределённость появления какого-либо символа первичного алфавита. При отсутствии информационных потерь численно равна количеству информации на символ передаваемого сообщения.

Ответ от 3 ответа [гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: что означает термин "энтропия" с точки зрения теории информации?